Bölüm XIII Niceleme Mantığı

Türetim

Bu bölümde daha önce gördüğümüz çıkarım kurallarına üç tane daha kural ekleyeceğiz.

Bunlardan birincisi; Evrensel Özelleme (Universal instantiation) (UI)

∀xFx ∴ Fy

İkincisi; Varoluşsal genelleme (Existential generalization) (EG)

Fy ∴ ∃xFx

Üçüncüsü de; Varoluşsal özelleme (Existential instantiation) (EI)

∃xFx ∴ Fy

Buradan sonra daha önce ele aldığımız çıkarım kuralları ve bu üç çıkarım kuralını birlikte kullanarak çıkarımların ya da teoremlerin geçerliliğini denetleyebiliriz.

Örnek1

∀x(Fx→Gx) → (∀xFx→∀xGx) çıkarımının geçerliliğini denetleyiniz.
    1. Göster ∀x(Fx→Gx) → (∀xFx→∀xGx)
    2. ∀x(Fx→Gx) 
    3. Göster (∀xFx→∀xGx)
    4. ∀xFx
    5. Göster ∀xGx
    6. Fx  (4, UI)
    7. Fx→Gx  (2,UI)
    8. Gx  (6,7, MP)

Görüldüğü üzere daha önceden işlediğimiz Modus Ponens ve yeni çıkarım kuralları ile çıkarımın geçerli olduğunu göstermiş olduk.

Örnek 2

∀x(Fx→Gx) → (∃xFx→∃xGx) çıkarımının geçerliliğini denetleyiniz.
    1. Göster ∀x(Fx→Gx) → (∃xFx→∃xGx)
    2. ∀x(Fx→Gx) 
    3. Göster (∃xFx→∃xGx)
    4. ∃xFx
    5. Fy  (4, EI)
    6. Fy→Gy  (2, UI)
    7. Gy  (5,6 MP)
    8. ∃xFx  (7, EG)

Örnek 3

¬∀xFx↔∃x¬Fx
    1. Göster ¬∀xFx↔∃x¬Fx
    2. Göster ¬∀xFx→∃x¬Fx
    3. ¬∀xFx
    4. Göster ∃x¬Fx
    5. ¬∃x¬Fx
    6. Göster ∀xFx
    7. Göster Fx
    8. ¬Fx
    9. ∃x¬Fx  (8, EG)
    10. ¬∃x¬Fx (5, T)
    11. ¬∀xFx  (3, T)
    12. Göster ∃x¬Fx→¬∀xFx
    13. ∃x¬Fx
    14. Göster ¬∀xFx
    15. ∀xFx
    16. ¬Fy  (13, EI)
    17. Fy  (15, UI)
    18. ¬∀xFx↔∃x¬Fx  (2, 12, CB)

Alıştırmalar için Tıklayınız