Bölüm X Niceleme Mantığı
Sembolleştirme
Bütün insanlar ölümlüdür.
Sokrates insandır.
O halde Sokrates ölümlüdür.
Yukarıdaki çıkarımdaki önermelerin hepsi sadece bir yargı ifade ettiğinden basit önermelerdir. Bu önermeler, önermeler mantığına göre sembolleştirildiğinde P, Q ∴ R elde edilir. Bu sembolik çıkarım tablo veya çözümleyici çizelge ile denetlendiğinde ise sonuç çıkarımın geçersiz olduğunu gösterir. Oysa önermelere bakıldığında öncüller doğru ise sonucun yanlış olamayacağı, yani çıkarımın geçerli bir çıkarım olduğu görülür. Buradaki sorun önermeler mantığında basit önermelerdeki özne ve yüklem ilişkilerinin kaybolmasıdır.
Niceleme mantığında bu ilişkilerin sembolleştirilebilmesi için sembolik dile yeni öğeler eklenir.
Yüklem Sembolleri: F, G ,..., O büyük harfleri ile sembolize edilir.
Ad Sembolleri: Belirli bireylere işaret eden sözcüklerdir. a, b, ...e küçük harfleri ile sembolize edilir.
Sembolleştirme işleminde önermeden geçen her farklı birey adı yerine farklı bir ad sembolü ve her yüklem yerine yüklem sembolü konur. Yüklem sembolü ad sembollerinin önüne yazılır ve ad sembolleri parantez içine alınır.
Örneğin F "ölümlüdür" yüklemini ve a: "Sokrates" bireyini sembolize ettiğinde "Sokrates ölümlüdür" önermesi F(a) olarak sembolize edilir.
[Örnekler:]{.mark}
F(x): x konuşkandır.
G(x): x hırslıdır.
H(x,y): x y'den başarılıdır.
I(x,y): x y'den çalışkanıdır.
a: Tuğçe
b: Ahmet
c: Aysel
F(a): Tuğçe konuşkandır.
F(b): Ahmet konuşkandır.
G(a): Tuğçe hırslıdır.
H(a,b): Tuğçe Ahmet'ten başarılıdır.
H(b,a): Ahmet Tuğçe'den başarılıdır.
Sembolik önerme eklemleri niceleme mantığında da aynı anlamlarda ve biçimlerde kullanılır.
Örnekler:
¬F(a): Tuğçe konuşkan değildir.
¬H(c,a): Aysel Tuğçe'den başarılı değildir.
F(b) ∧ I(b,c): Ahmet konuşkandır ve Aysel'den çalışkandır.
¬G(a)\/H(b,a): Tuğçe hırslı değildir veya Ahmet Tuğçe'den başarılıdır.
H(b,c) → F(b): Ahmet Aysel'den başarılı ise konuşkandır.
I(c,b) ↔︎ I(c,a): Ancak ve ancak Aysel Ahmet'ten çalışkan ise Aysel Tuğçe'den çalışkandır.
Yukarıdaki örneklerde olduğu gibi sadece belirli bireylere yüklemede bulunan önermelere "Tekil Önerme" denir. Oysa bazı durumlarda önermeler bir özelliği taşıyanların bütününe veya belirsiz olarak sadece bir kısmına yüklemede bulunabilir. Örneğin, "Herkes konuşkandır.", "Hırslı olan herkes Ahmet'ten başarılıdır.", "Aysel'den çalışkan olanların bazıları Aysel'den başarılı değildir." önermelerinde özneler belirsiz olduğundan bu önermelerin sembolleştirilmesinde ad sembolleri kullanılamaz.
Bu önermeleri sembolleştirmek için Niceleyici sembolleri olarak adlandırılan ∀ ve ∃ sembollerini ve Birey Değişkenleri olarak adlandırılan x,y,z küçük harflerini kullanmak gerekir.
Tümel Önermeler: "Her", "Bütün", "Tüm", "Hiçbiri",...sözcüklerini içeren ve bir grubun tamamından bahseden önermelerdir.
"Bütün A'lar B'dir." önermesi "Her x için x A ise x B'dir." şeklinde yorumlanır ve "Her" anlamına gelen '∀' Tümel Niceleyici sembolü kullanılarak ∀x ( ∀x⟶Bx) olarak sembolize edilir.
Benzer şekilde "Hiçbir A B değildir." önermesi " Her x için x A ise B değildir." şeklinde yorumlanır ve ∀x( ∀x⟶∼Bx) olarak sembolize edilir.
Örnekler:
∀x(G(x) → F(x)): Hırslı olan herkes konuşkandır.
∀x(F(x) → ¬G(x)): Konuşkan olanlanların hiçbiri hırslı değildir.
∀xF(x): Herkes konuşkandır.
∀xH(x,b): Herkes Ahmet'ten başarılıdır.
∀x(G(x) → H(x,b)): Hırslı olan herkes Ahmet'ten başarılıdır.
Tikel Önermeler: "Bazı", "Kimi",... sözcüklerini içeren ve bir grubun belirsiz bir kısmından bahseden önermelerdir.
"Bazı A'lar B'dir." Önermesi "Bazı x'ler için x A'dır ve x B'dir." şeklinde yorumlanır ve "Bazı" anlamına gelen '∃' Tikel Niceleyici sembolü kullanılarak ∃x( ∀x⋀Bx) olarak sembolize edilir.
Benzer şekilde "Bazı A'lar B değildir." önermesi "Bazı x'ler için x A'dır ve x B değildir." Şeklinde yorumlanır ve ∃x( ∀x⋀∼Bx) olarak sembolize edilir.
Örnekler:
∃x(G(x) ∧ F(x)): Hırslı olan bazıları konuşkandır
∃x(F(x) ∧ ¬G(x)): Konuşkan olanların bazıları hırslı değildir.
∃xF(x): Bazıları konuşkandır.
∃xH(x,c): Bazıları Aysel'den başarılıdır.
∃x(I(x,c) ∧ ¬H(x,c)): Aysel'den çalışkan olanların bazıları Aysel'den başarılı değildir.