Bölüm XI Niceleme Mantığı
Yorumlama
Önermeler Mantığı’nda önermelerin bileşeni olan basit önermelerin doğruluk değeri biliniyorken önermenin doğruluk diğerinin hesaplanabileceğini ve bu hesaplamaya dayanan doğruluk değeri tablosu aracılığıyla çeşitli denetlemeler yapılabileceğini göstermiştik. Niceleme Mantığı’nda da önermelerin doğruluk değerleri hakkında konuşabilir ve bu değerleri çeşitli denetlemeler yapmak için kullanabiliriz. Yalnız, Niceleme Mantığı’nda önermelerin doğruluk değerlerini belirleme işi biraz daha karmaşık olacaktır. Önermeler Mantığı’nın temel birimleri eklemler, ve doğru veya yanlış olabilecek önermeler olduğundan bu bileşenlerin doğru veya yanlış olduğu durumları doğrudan değerlendirebiliyorduk. Oysa Niceleme Mantığı’ının temel bileşenleri eklemler, ad sembolleri, yüklemler, birey değişkenleri ve niceleyicilerdir. Ad sembolleri veya yüklemlerin sembollerinin kendi başlarına doğru veya yanlış olamayacağı açıktır. Örneğin, ‘F’ yüklem sembolünün veya ‘a’ ad sembollünün doğruluk değerinden bahsedemeyiz. F(a) önermesinin doğruluk değerini belirlemek içinse ‘a’ ad sembolünün hangi bireyi sembolize ettiğini ve ‘F’ yükleminin bu bireye yüklenip yüklenemeyeceğini bilmemiz gerekir. a:Sokrates, F(x):x filozoftur olarak yorumlandığında F(a) önermesi doğrudur. Diğer taraftan, a: Ömer Seyfettin, F(x):x filozoftur. olarak yorumlandığında F(a) önermesi yanlıştır. O halde, bir önermenin doğruluk değeri hakkında konuşabilmek için öncelikle o önermenin yorumlanması gerekir.
Niceleme Mantığı’nda bir önermenin yorumlanabilmesi için şunlar belirlenmelidir:
- Konuşma Evreni/ E(Domain)
- Ad sembollerinin evrendeki hangi bireyleri işaret ettiği
- Yüklem sembollerinin hangi bireylere doğru olarak uygulanabileceğinin kümesi.
Yorumlamalar yukarıdaki belirlemelerin yapılabileceği çeşitli şekillerde gösterilebilir. Aşağıdaki 2 yorumlama da F(a) önermesi için doğrulayıcı, F(b) önermesi için yanlışlayıcı yorumlamalardır.
Yorumlama1
E(Domain): {Sokrates, Ömer Seyfettin} a: Sokrates b: Ömer Seyfettin F(x): {Sokrates}
Yorumlama2
E(Domain): {0,1} a:0 b:1 F(x):{0}
Doğruluk Değeri Hesaplaması
Aşağıdaki yorumlamayı (Yorumlama3) ele alalım:
E(Domain): {0,1,2,3} a:0 b:2 c:3 F(x):{1,2} G(x): {0,1,2,3} H(x): {0,2,3} I(x): {1}
Yorumlamalarda yüklem sembollerinin hangi ad sembolleri tarafından sağlandığı belirlenmiş olduğundan tekil önermelerin doğruluk değeri hesabı doğrudan yapılabilir. Örneğin, ‘0’ G(x) yüklemini sağlayan kümenin bir elemanı olduğundan G(a) önermesi doğrudur, ama ‘0’ F(x) yüklemini sağlayan kümenin bir elemanı olmadığından F(a) önermesi yanlıştır.
Sembolik önerme eklemlerinin Niceleme Mantığı’nda doğruluk değeri fonksiyonları değişmez. F(a)∧F(b) önermesi F(a) yanlış, F(b) doğru olduğundan yanlıştır.
Örnekler:
F(c)→(F(a)∨G(a)): D
¬H(b)↔︎(F(b)∧G(b): Y
(H(a)→H(b))∨(G(b)→G(c)):D
Tümel ve Tikel niceleyicileri içeren önermelerin doğruluk değeri hesaplamasında ise ad sembolü ile belirlenmiş elemanları dikkate almak yeterli olmayacaktır.
Bir tümel önermenin doğruluk değerini hesaplayabilmek için evrendeki bütün elemanları dikkate almak gerekir. Örneğin, ∀xF(x) önermesi ‘F’ yükleminin evrendeki bütün elemanlar tarafından sağlandığını söyleyen önermedir. Bu önermenin doğruluk değerini bulmak için yüklemin kümesiyle evrendeki elemanları karşılaştırdığımızda ‘F’ yükleminin 1 ve 2 tarafından sağlandığını ama 0 ve 3 tarafından sağlanmadığını görürüz. Bu nedenle, ∀xFx önermesi yanlıştır. Aynı şekilde, ∀xH(x) önermesi de evrendeki 1 elemanı tarafından sağlanmadığı için yanlıştır. Diğer taraftan, ∀xG(x) önermesi evrendeki bütün elemanlar tarafından sağlandığından doğrudur.
∀xP(x) biçimindeki herhangi bir önermenin bir yorumlamada doğru olması demek P(x) önerme formunun evrendeki her elemanın özellemesi için doğru olması demektir.
Örnekler:
∀x(F(x)→G(x)):D
∀x(G(x)→H(x)): Y
∀x(H(x)∧-F(x)): Y
∀x(G(x)∨H(x)): D
Bir tikel önermeninse evrendeki tek bir eleman için doğru olması yeterlidir. Örneğin, Yorumlama3’te ∃xF(x), ∃xG(x), ∃xH(x) ve ∃xI(x) önermelerinin her biri evrenin en az bir elemanı tarafından sağlandığından bu önermelerin hepsi doğrudur. ∃xP(x) biçimindeki herhangi bir önermenin bir yorumlamada doğru olması demek P(x) önerme formunun evrendeki en az bir elemanın özellemesi için doğru olması demektir
Örnekler:
∃x(¬G(x)):Y
∃x(F(x)∧H(x)):D
∃x(F(x)→I(x)):D
∃x(G(x)→(¬H(x)∧¬I(x))):Y