Bölüm II - Önermeler Mantığı

1) Sembolleştirme

Mantığın Türkçe, İngilizce, vb. doğal dillerle yapılmasında bazı güçlükler sözkonusudur. Çıkarımı oluşturan önermeler doğal dillerle ifade edildiklerinde, tümceler dilbilgisel açıdan hatasız olsalar bile, çok anlamlılık ya da anlamın belirsizliği gibi sorunlardan dolayı birtakım güçlükler ortaya çıkabilir. Bunların bir kısmı doğal dillerde ortak olabileceği gibi, doğal dillerin her birinin kendine özgü birtakım güçlükleri de olabilir. Doğal diller ile ilgili bu türden güçlüklerin varolması, hatalı uslamlamalara ve/veya çıkarımların yanlış anlaşılmalarına yol açabilir. Bu soruna çözüm geliştirmeye çalışan ilk isimlerden biri olan G. W. Leibniz (1646 -- 1716), mantıksal çıkarımların formel bir dilde yeniden düzenlenmesi gereğine dikkat çekti. Bu amaçla oluşturulan evrensel bir dil ile çıkarımları ifade etmeyi ve böylelikle tüm felsefi tartışmaları da salt bir hesaplama konusu yapmayı önerdi.

Formel mantığın temelini çok anlamlılık, anlamın belirsizliği, bulanıklığı vb. güçlüklerden kaçınmak amacıyla tasarlanan yapay bir dil oluşturmaktadır. Burada öncelikle sembolleştirme ile doğal dillerin dilbilgisini sembolik gösterime çevirmeyi ve ardından da sembolik gösterimlerin kullanıldığı bu formel dilde çıkarımlara doğru (D) ya da yanlış (Y) değerlerinin nasıl verildiğini, yani değerlemeyi ele alacağız.

Önermeleri P, Q, R,.... gibi harflerle gösteriyoruz. Buna göre n sayıda öncülü olan bir çıkarım:

P₁, ..........., P_n O halde Q

biçiminde gösterilir. "O halde" ifadesinin gösterimi ise, "∴" biçimindedir.

Örnek 1

Bütün insanlar ölümlüdür.

Sokrates insandır.

O halde Sokrates ölümlüdür.

Buna göre çıkarımın sembolik gösterimi aşağıdaki gibidir:

Çıkarımların geçerliliği içlerinde geçen

- ise, ve, veya, değil, ancak ve ancak...ise

- bütün, tüm, bazı (her bir, birçok, pek az, pek çok)

gibi bazı sözlerin anlamlarına bağlı olup, geri kalan sözlerin anlamından tamamen bağımsızdırlar. Nitekim bunlar yerine, aynı türden değişik birer söz konulursa, çıkarımların geçerliliği değişmez.

Çıkarımların geçerliliğinin ve önerme kümelerinin dayandığı sözcüklere "mantık değişmezleri" denir. Bir çıkarımda geçen mantık değişmezleri, çıkarımın mantıksal biçimini belirler. Çıkarımın geçerliliği, sadece çıkarımın mantıksal biçimine bağlıdır. Bundan dolayı, geçerliğin biçimsel (formel) bir özellik olduğu söylenebilir. Bunlardan "ise, ve, veya, değil, ancak ve ancak...ise" gibi değişmezler ise, "mantık eklemleri" ya da "önerme eklemleri" olarak adlandırılır. Bu tür eklemler ise, basit önermeleri (P, Q, R,...) birbirine bağlar ve böylelikle birleşik önermeler elde edilmesini sağlar. Buna göre mantık eklemleri ve sembolik gösterimleri aşağıdaki gibidir:

2) Mantık Eklemleri

a) Değilleme Eklemi

"¬" sembolü, değilleme eklemi olarak adlandırılan mantık eklemini dile getirir. Buna göre değilleme ekleminin kullanımı şöyledir:

¬ P sembolik gösterimi, "değil-P" olarak söylenir. Basit bir önerme olarak P'nin alabileceği doğruluk değeri, tablo yöntemi ile şu biçimde gösterilir:

P herhangi bir önerme olduğunda, ¬ P bir birleşik önermedir. Bu durumda ¬ P'ye değilleme önermesi ya da kısaca değilleme denir. P'ye de değillemenin bileşeni denir. ¬ P formundaki bir önerme tekrar değillendiğinde, ¬ ¬ P biçimini alır. Bu durumda ¬ ¬ P, P'ye denktir ve burada başvurulan kural "çifte değilleme kuralı"dır.

b) Tümel Evetleme Eklemi

Tümel evetleme ekleminin sembolik mantıktaki gösterimi "Λ" biçimindedir. Tümel evetleme eklemi ile iki ya da daha fazla sayıdaki basit önerme birbirine bağlanır. Bu eklemle birbirine bağlanan önermelerin oluşturduğu önerme artık bir birleşik önermedir. Tümel evetleme eklemi kuralına göre, bu eklemle birbirine bağlanan önermelerin herbiri D doğruluk değerini aldığında, birleşik önermenin doğruluk değeri D, diğer tüm olası durumlarda doğruluk değeri Y olur.

P Λ R

Tablo yönteminde satır sayısı, 2ⁿ formülüyle bulunur. Burada n, basit önerme sayısına karşılık gelir. P Λ R birleşik önermesinde P ve Q gibi iki tane basit önerme bulunmaktadır. Buna göre satır sayısı, yukarıdaki tablodan da anlaşılacağı gibi 4 olmalıdır. Yani;

2² = 4

Örnekler:

Aşağıdaki önermeleri formel mantık kurallarına göre sembolleştirelim.

P ∧ ¬ Q

¬(P ∧ Q)

¬P ∧ Q

c) Tikel Evetleme Eklemi

Tikel evetleme eklemi olan "veya"nın sembolik mantıktaki gösterimi "V" biçimindedir. Tikel evetleme eklemi ile iki ya da daha fazla sayıdaki basit önerme birbirine bağlanır. Bu eklemle birbirine bağlanan önermelerin oluşturduğu önerme artık bir birleşik önermedir. Tikel evetleme eklemi kuralına göre, bu eklemle birbirine bağlanan önermelerin hepsi Y doğruluk değerini aldığında, birleşik önermenin doğruluk değeri Y, diğer tüm olası durumlarda D olur. Başka bir deyişle, bileşenlerden sadece birinin D doğruluk değerini alması, tikel evetleme eklemi ile bağlanmış birleşik önermenin D olması için yeterlidir.

P ∨ R

Örnekler:

Aşağıdaki önermeleri formel mantık kurallarına göre sembolleştirelim.

P ∨ Q

(¬P ∨ ¬Q) ∧ S

P ∧ ¬(Q ∨ S)

d) Koşul Eklemi

Koşul eklemi olan "ise"nin sembolik mantıktaki gösterimi "→" biçimindedir. Koşul eklemi ile biri ön bileşen, diğeri art bileşen olarak adlandırılan iki önerme birbirine bağlanır. Koşul eklemi kuralına göre, bu eklemle birbirine bağlanan önermelerden ön bileşen olan önerme D doğruluk değerini aldığında, art bileşen olan önerme Y doğruluk değerine sahipse, birleşik önerme Y doğruluk değerini alır; diğer olası durumlarda birleşik önermenin doğruluk değeri D'dur.

P → Q

P → Q

Bu durumda P ön bileşen, Q art bileşen konumundadır.

Örnekler:

Aşağıdaki önermeleri formel mantık kurallarına göre sembolleştirelim.

1. Bir cisme, bir kuvvet etki ediyorsa; cisimden kuvvete doğru eşit büyüklükte ve zıt yönde bir tepki kuvveti oluşur.

P → (Q ∧ R)

1. Bir Sodyum ile klorür uygun koşullar altında tepkimeye girerse, sofra tuzunu oluştururlar.

(P ∧ Q) → R)

1. Ali'nin çok hızlı koşarsa, daha önce rezervasyon yaptırdığı 12.00 uçağına yetişebileceği doğru değildir.

¬ (P → Q)

e) Karşılıklı Koşul Eklemi

Karşılıklı koşul eklemi olan "ancak ve ancak"ın sembolik mantıktaki gösterimi "↔︎" biçimindedir. Karşılıklı koşul eklemi ile bağlanan önermelerin her ikisi de D ya da her ikisi de Y doğruluk değeri aldığında, birleşik önermenin doğruluk değeri D; diğer olası durumlarda Y olur.

Ahmet ancak ve ancak derslerine zamanında çalışırsa, sınavlarında başarılı olur.

P ↔︎ Q

Örnekler:

Aşağıdaki önermeleri formel mantık kurallarına göre sembolleştirelim.

(P ∧ Q) ↔︎ R

¬(P ∧ Q) ↔︎ (¬R ∧ ¬S)

3) Sembolik Önermeler

Mantık önermelerle ilgilenir. Ancak tüm önerme türlerinin aynı açıklıkta ve/veya aynı kesinlikte olduklarını söylemek güçtür. Örneğin, "Nergis, güzel kokulu bir çiçektir." önermesi ile "Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 derecedir." önermesinin aynı kesinliğe sahip olduğunu söyleyemeyiz. "Güzel" ya da "iyi" gibi sözlerle kesinlik bakımından daha az güçlü önermeler elde edilir. Bunlar bir yana, mantığın ilgisini daha çok doğru ya da yanlış gibi bir doğruluk değerine sahip olan sözler oluşturur. Bu tür sözlerin gerçekte doğru olup olmaması mantıksal çözümlemenin ilgi alanına girmez, mantık çıkarımlarımızda doğruluk değerine sahip bir önerme olarak bulunmasıyla ilgilenir. Örneğin Newton yasasına göre "Bir cismin üzerine uygulanan net bir kuvvet varsa, bu kuvvet o cisme bir ivme kazandırır." Mantık, bu önermenin doğru ya da yanlış oluşunu dikkate alır. Buna göre önerme ya doğrudur ya da yanlıştır, hem doğru hem de yanlış olamaz ve ayrıca herhangi bir doğruluk değerinden yoksun da olamaz. Mantığın bu türden temel ilkelerin yanı sıra özellikle doğal dillerle söylenmiş sözleri sembolleştirirken, yani formel dile aktarırken dikkat edilmesi gereken bazı kurallar bulunmaktadır. Bunlardan bazılarını sırasıyla inceleyeceğiz.

Tüm önermeler formel mantıkta P, Q, R,... gibi sembollerle temsil edilir. Dolayısıyla P, Q, R.... gibi her (harf) sembol, bir önermedir ve birer yargı içerirler. P, Q, R.... önermelerden ikisini aralarına ∧, ∨, → veya ↔︎ gibi mantık eklemlerini koyup parantez içerisine aldıktan sonra bir sonuç önermesine bağlarız. Böylece yine bir önerme elde ederiz. Bu sırada parantezlerin kullanılması hem okunuşu kimi zaman kolaylaştırmaktadır hem de bu tip önermelerle işlem yaparken ana eklemin, vb. belirlenmesini sağlamaktadır. Ancak bazen parantezlerin kullanılmaması önermede herhangi bir yapısal değişikliğe yol açmaz, bu tür durumlarda parantez kullanılmasa da olur.

Örnekler

1) (P ∧ Q) ile P ∧ Q aynıdır.

2) (P ∧ Q) ∧ R ile P ∧ Q ∧ R aynıdır.

3) (P ∨ Q) ∨ R ile P ∨ Q ∨ R aynıdır.

4) (P ∨ Q) ∨ R ile P ∨ Q ∨ R aynıdır.

5) (P ∧ Q) ↔︎ (P ∧ R) ile P ∧ Q ↔︎ P ∧ R aynıdır.

6) P → (Q ∧ R)  ile P → Q ∧ R

7) P → (Q ∨ R)  ile P → Q ∨ R

Doğal dillerde dilbilgisel olarak pek çok farklı yapıda bir önerme söylenmiş olabilir. Bu tür önermeleri formel dile çevirirken bu durumu göz önüne almak gerekir. Söyleyişteki birtakım değişikliklerle özellikle belli bazı mantık eklemlerinin kullanıldığı önermeleri doğru bir şekilde formel dile çevirebiliriz. Örneğin "P ise, R" ifadesi aşağıdaki gibi farklı şekillerde dile getirilebilir:

1) Eğer P ise, R...

2) P olması durumunda, R...

3) P olması koşuluyla, R....

....

Yukarıda sadece üç tanesi listelenen farklı dile getirişlerin hepsinde, bunların önerme olması durumunda "P → Q" biçiminde formel dile çevrileceklerdir.

Ancak özellikle olumsuzluk eki almış ya da olumsuz durumları işaret eden önermelerde belli kalıplara indirgemek sakıncalar doğurabilir. Aşağıdaki önermelerin sembolleştirmeleri incelendiğinde özellikle parantez kullanmanın gerekliliği görülecektir.

Örnek

Sembolleştirme anahtarı:

P: Zeynep derslerine çalışır.

Q: Zeynep sınavlarında başarılı olur.

1) Zeynep derslerine çalışırsa, sınavlarında başarılı olur. P → Q

2) Zeynep derslerine çalışmazsa, sınavlarında başarılı olmaz. ¬ P → ¬ Q

3) Zeynep derslerine çalışmazsa, sınavlarında başarısız olur. ¬ P → ¬ Q

4) Zeynep'in derslerine çalışırsa, sınavlarında başarılı olacağı doğru değildir. ¬ (P → Q)

5) Zeynep'in derslerine çalışırsa, sınavlarında başarısız olacağı doğru değildir. ¬ (P → ¬ Q)

Önermeleri formel dile çevirirken, öncelikle önermedeki mantık eklemini görmek sonraki adımları da kolaylaştıracaktır. Eklemi gördükten sonra hangi önermenin eklemin sağında bulunacağını, hangi önermenin ise eklemin solunda bulunacağını saptamak gerekir. Bir çıkarımın formel dile çevrilmesi gerektiğinde ve sembolleştirme anahtarı verilmediği durumda, öncelikle önermeleri ayırt edebilmeli ve bunlar harf sembolleriyle gösterilmelidir. Bu işlem sırasında, aynı önerme birkaç kez çıkarımda geçiyorsa, her geçişinde (kullanımında) aynı sembolle temsil edilmelidir.

Örnek

1) Ülkedeki refah düzeyini yükseltmenin gerekli koşulu, üretimin arttırılması ve insanların gelirlerinin yükseltilmesidir.

Ne ülkedeki refah düzeyi ne de insanların gelirleri yükseltiliyor.

O halde, üretim arttırılmıyor.

Sembolleştirme anahtarı

Ülkedeki refah düzeyi yükseltilir. P

Üretim arttırılır. Q

İnsanların gelirleri yükseltilir. R

Çıkarım aşağıdaki gibi tek bir önerme olarak da formel dile çevrilebilir.

[ [(Q ∧ R) → P] ∧ (¬ P ∧ ¬ R) ] → ¬ Q

Alıştırmalar için Tıklayınız