Bölüm III Önermeler Mantığında Denetleme I

Doğruluk Değeri Tablosu

Doğruluk değeri tablosu önermelerin olanaklı tüm durumlarda alacağı değerleri gösteren tablodur. Bu tablo önermeleri çeşitli mantıksal kavramlar açısından denetleme imkanı sunar. Doğruluk değeri tabloları kullanılarak bir önermenin statüsü, önermelerin eşdeğerliği, tutarlılığı ya da çıkarımların geçerliliği denetlenebilir.

Doğruluk değeri tablosunu oluşturabilmek için önermelerin belirli durumlarda alacağı doğruluk değerlerinin hesaplanabilmesi gerekir. Bu hesaplama önermenin bileşenlerinin doğruluk değerine ve içerdiği eklemlerin belirttiği doğruluk değeri fonksiyonuna bağlıdır.

Doğruluk Değeri: Sembolik önermeler doğru ya da yanlış olabilecek önermeleri temsil ettiklerinden, "Doğru" (D) ve "Yanlış" (Y) olmak üzere 2 doğruluk değeri vardır.

Doğruluk Değeri Fonksiyonu: Önerme eklemleri "doğruluk değeri fonksiyonu" belirtirler. Yani, bir eklemle elde edilmiş bir önermenin doğruluk değeri sadece bu eklemin anlamı ve önermenin bileşenlerinin doğruluk değeri tarafından belirlenir.

Mantıksal eklemlerin doğruluk değeri fonksiyonları söyle tanımlanmıştır:

Fonksiyonlar
F- - T - - T - - T - - T - -- - F - - T - - F - - F - T- - F - - T - - T - - F - -- - F - - F - - T - - T -

Doğruluk Değeri Hesaplaması

Bir önermenin bileşeni olan basit önermelerin doğruluk değeri biliniyorken, önermenin doğruluk değeri hesaplanabilir. Bu hesaplama önermenin verilen doğruluk değerleri, yani değerlemesi, için yorumu olarak adlandırılır. Her farklı değerleme mantıksal olarak olanaklı farklı bir durum olarak düşünülebilir.

Sonunda önermenin "D" (Doğru) değerini aldığı değerlemeler önermenin doğrulayıcı yorumlaması, "Y" (Yanlış) değeri aldığı değerlemeler önermenin yanlışlayıcı yorumlaması olarak adlandırılır.

Örnek3.1

¬(P∧R)∧ ¬P önermesinin doğruluk değerini (P:D, R:Y) değerlemesinde hesaplanması.

Örnek3.1
T TFT T FT

Doğruluk Değerleri Tablosu

Her farklı değerleme (mantıksal olarak) olanaklı bir durum olarak düşünülebilir. Doğruluk değerleri tablosunun her bir satırında önermenin belirli bir durumdaki doğruluk değeri hesaplanır ve böylece tabloda önermelerin olanaklı tüm durumlarda alacağı değerler gösterilmiş olur.

Önermenin içerdiği her basit önerme için olanaklı 2 durum (D ve Y) vardır. Bu durumda:

  1. basit önerme içeren bir önerme için 2 olanaklı durum vardır. Ör: {P:D, Q:Y}

  2. (farklı) basit önerme içeren bir önerme için (2x2) 4 olanaklı durum vardır. Ör: {(P:D, Q:D), (P:D, Q:Y), (P:Y, Q:D), (P:Y, Q:Y)}

  3. (farklı) basit önerme içeren bir önerme için (2x2x2) 8 olanaklı durum vardır. Ör: {(P:D, Q:D, R:D), (P:D, Q:D, R:Y), (P:D, Q:Y, R:D), (P:D, Q:Y, R:Y), (P:Y, Q:D, R:D), (P:Y, Q:D, R:Y), (P:Y, Q:Y, R:D), (P:Y, Q:Y, R:Y)}

n (farklı) basit önerme içeren bir önerme için 2^n^ olanaklı durum vardır.

Doğruluk değerleri tablosundaki her bir satır tablo ile değerlendirilen önermenin belirli bir olanaklı durumda alacağı değeri gösterir, yani belirli bir değerlemedeki yorumudur.

Örnek3.2

((P ↔︎ Q) ∧ (R ∨ ¬Q)) → ¬(R → P) önermesinin tablosu

Örnek3.2
-T - T -TF- F F -T - -T - F -FF- F F -T - -F - F -TT- T F -T - -F - F -TT- T F -T - -F - F -TF- T T -F - -F - F -FF- T F -T - -T - T -TT- T T -F - -T - T -TT- F F -T -

Karma Doğruluk Değeri Tablosu:

Doğruluk değeri tablosu bir önerme için oluşturulabileceği gibi bir grup önerme için de oluşturulabilir. Bu durumda olanaklı bütün durumlar, yani tablonun satırları, gruptaki bütün önermelerin içerdiği basit önermelerin tamamı tarafından belirlenir. Bu tablo Karma Doğruluk Değeri Tablosu olarak adlandırılır.

Örnek3.3

(P ∧ Q) ∨ (Q → R), P ∧ ¬Q, R önermelerinin karma tablosu

Örnek3.2
-T - T -T - -F F- T -T - T -F - -F F- F -F - T -T - -T T- T -F - T -T - -T T- F -F - T -T - -F F- T -F - F -F - -F F- F -F - T -T - -F T- T -F - T -T - -F T- F

Alıştırmalar için Tıklayınız