Bölüm IV Önermeler Mantığında Denetleme II
Doğruluk Değeri Tablosu ile Denetlemeler
Doğruluk değeri tabloları önermelerin tek başına veya birlikte almaları olanaklı olan doğruluk değerlerini gösterdiklerinden bu tabloları kullanarak statü, eşdeğerlik, tutarlılık ve geçerlilik denetlemeleri yapmak mümkündür.
Önermelerin Statülerinin Denetlenmesi
Bir önermenin alabileceği doğruluk değerlerine göre statüsü Totoloji, Çelişki ya da Olumsal olabilir. Totoloji: Her olanaklı durumda doğru olan (hiçbir olanaklı durumda yanlış olmayan) önermelere totoloji denir. Doğruluk değeri tablosunun her satırında “D” (Doğru) değeri alan önermelerin statüsü totolojidir.
Örnek4.1
R → (P ∨ ¬P) önermesi her satırda "D" değeri aldığından totolojidir.
Çelişki: Her olanaklı durumda yanlış olan (hiçbir olanaklı durumda doğru olmayan) önermelere çelişki denir. Doğruluk değeri tablosunun her satırında “Y” (Yanlış) değeri alan önermelerin statüsü çelişkidir.
Örnek4.2
(Q ↔︎ ¬Q) ∧ P önermesi her satırda "Y" değeri aldığından çelişkidir.
Olumsal: Bazı olanaklı durumlarda doğru ve bazı olanaklı durumlarda yanlış olan önermelere olumsal önerme denir. Doğruluk değeri tablosunun en az bir satırında “D” (Doğru) değeri ve en az bir satırında “Y” (Yanlış) değeri alan önermelerin statüsü olumsaldır.
Örnek4.3
(P ↔︎ ¬Q) → P önermesinin "D" değeri aldığı ve "Y" değeri aldığı satırlar olduğundan önerme olumsaldır.
Önermelerin Eşdeğerliğinin Denetlenmesi
Eşdeğer Önermeler: Aynı olanaklı durumlarda doğru ve aynı olanaklı durumlarda yanlış olan önermelere eşdeğer önermeler denir. Karma doğruluk değeri tablolarının aynı satırlarında “D” ve aynı satırlarında “Y” değeri alan önermeler eşdeğer önermelerdir. Önermelerin doğruluk değeri bir satır da bile farklı ise önermeler eşdeğer değildir.
Örnek4.4
(P → Q) ∧ (Q → P), P ↔︎ Q önermeleri karma doğruluk değeri tablosunun aynı satırlarında aynı değerleri aldığından önermeler eşdeğerdir.
Örnek4.5
¬P → ¬Q, P → Q önermelerinin farlı değerler aldıkları satırlar olduğundan önermeler eşdeğer değildir.
Önermelerin Tutarlılığının Denetlenmesi
Tutarlı Önermeler: Önermelerin hepsinin bir arada doğru olduğu en az bir olanaklı durum olan önermeler tutarlı önermelerdir. Karma doğruluk değeri tablosunda önermelerin hepsinin “D” değeri aldığı en az bir satır bulunan önermeler tutarlı önermelerdir.
Örnek4.6
P ↔︎ Q, (P → Q) ∨ P, ¬P önermelerinin hepsinin "D" değeri aldığı satır olduğundan önermeler tutarlıdır.
Tutarsız (Tutarlı olmayan) Önermeler: Önermelerin hepsinin doğru olduğu hiçbir olanaklı durum olmayan önermeler tutarsız önermelerdir. Karma doğruluk değeri tablosunda önermelerin hepsinin “D” değeri aldığı hiçbir satır bulunmayan önermeler tutarsız önermelerdir.
Örnek4.7
P ∨ ( ¬Q → P), P ∧ Q, P ↔︎ ¬Q önermelerinin hepsinin "D" değeri aldığı hiçbir satır olmadığından önermeler tutarsızdır.
Çıkarımların Geçerliliğinin Denetlenmesi
Geçerli Çıkarım: Bütün öncüllerin doğru ve sonuç önermesinin yanlış olduğu hiçbir olanaklı durum bulunmayan çıkarımlardır. Doğruluk değeri tablosunda öncüllerin hepsinin “D” ve sonuç önermesinin “Y” değeri aldığı hiçbir satır bulunmayan çıkarımlar geçerli çıkarımlardır.
Örnek4.8
(P ∨ ¬Q) ↔︎ Q, Q ∧ P ∴ ¬P ∨ Q çıkarımının öncüllerin hepsinin "D" ve sonuç önermesinin "Y" aldığı hiçbir satır bulunmadığından çıkarım geçerlidir.
Geçersiz çıkarım: Bütün öncüllerin doğru ve sonuç önermesinin yanlış olduğu en az bir olanaklı durum bulunan çıkarımlardır. Doğruluk değeri tablosunda öncüllerin hepsinin “D” ve sonuç önermesinin “Y” değeri aldığı en az bir satır bulunan çıkarımlar geçersiz çıkarımlardır.
Örnek4.9
¬P ∨ R, R → (P ↔︎ Q), (P → Q) ∧ ¬R ∴ (P ∧ Q) ∨ R çıkarımının öncüllerin hepsinin "D" ve sonuç önermesinin "Y" değeri aldığı satır bulunduğundan çıkarım geçersizdir.