Bölüm VI Önermeler Mantığında Denetleme IV
Çözümleyici Çizelge ile Denetlemeler
Çözümleyici çizelgenin bir önermenin veya bir grup önermenin hepsinin doğru olduğu en az bir olanaklı durum olup olmadığını gösteren bir yöntem olduğunu söylemiştik. Çözümleme kuralları incelendiğinde her kuralın çözümlenen önermenin doğru olduğu durumları incelemek üzere önermelerin çözümlemesini yaptığı görülebilir. Yani, çözümleyici çizelgesi kapalı olan önermelerin hepsinin doğru olduğu hiçbir olanaklı durum yoktur ve çözümleyici çizelgesi açık olan önermelerin hepsinin doğru olduğu en az bir olanaklı durum vardır.
Tutarlılık denetlemesinin çözümleyici çizelge ile doğrudan yapıldığı açıktır. Statü, eşdeğerlik ve geçerlilik denetlemeleri ise aşağıda anlatıldığı şekilde yapılır.
Önerme Kümelerinin Tutarlılığı
Tutarlı Önermeler: Önermelerin hepsinin bir arada doğru olduğu en az bir olanaklı durum olan önermeler tutarlı önermelerdir. Çözümleyici çizelgesi kapalı çizelge olmayan (tamamlanmış açık çizelge olan) önermeler tutarlıdır.
Örnek6.1
P ↔︎ Q, (P → Q) ∨ P, ¬P önermelerinin çizelgesi açık olduğundan önermeler tutarlıdır.
Tutarsız (Tutarlı olmayan) Önermeler: Önermelerin hepsinin doğru olduğu hiçbir olanaklı durum olmayan önermeler tutarsız önermelerdir. Çözümleyici çizelgesi kapalı çizelge olan önermeler tutarsızdır.
Örnek6.2
P ∨ ( ¬Q → P), P ∧ Q, P ↔︎ ¬Q önermelerinin çizelgesi kapalı olduğundan önermeler tutarsızdır.
Önermelerin Statüsü
Totoloji: Her olanaklı durumda doğru olan (hiçbir olanaklı durumda yanlış olmayan) önermelere totoloji denir. Bir P önermesinin her olanaklı durumda doğru olması ¬P önermesinin hiçbir olanaklı durumda doğru olmaması, demektir. O zaman, P ancak ve ancak ¬P önermesinin çözümleyici çizelgesi kapalı çizelge ise totolojidir.
Örnek6.3
R → (P ∨ ¬P) önermesinin değilinin çizelgesi kapalı olduğundan önerme totolojidir.
Çelişki: Her olanaklı durumda yanlış olan (hiçbir olanaklı durumda doğru olmayan) önermelere çelişki denir. P ancak ve ancak P önermesinin çözümleyici çizelgesi kapalı çizelge ise çelişkidir.
Örnek6.4
Q ↔︎ ¬Q) ∧ P önermesinin çizelgesi kapalı olduğundan önerme çelişkidir.
Olumsal: Bazı olanaklı durumlarda doğru ve bazı olanaklı durumlarda yanlış olan önermelere olumsal önerme denir. Bir P önermesi ancak ve ancak ne çelişki ne de totoloji ise olumsaldır. O zaman, P ancak ve ancak P ve ¬P önermelerinin çözümleyici çizelgeleri kapalı çizelge değilse (tamamlanmış açık çizelge ise) olumsaldır.
Örnek6.5
(P ↔︎ ¬Q) → P önermesinin hem kendisinin hem de değilinin çizelgesi açık olduğundan önerme olumsaldır.
Önermelerin Eşdeğerliği
Eşdeğer Önermeler: Aynı olanaklı durumlarda doğru ve aynı olanaklı durumlarda yanlış olan önermelere eşdeğer önermeler denir. Herhangi iki P ve Q önermesi ancak ve ancak P ↔︎ Q önermesi totoloji ise eşdeğerdir. Bu durumda ¬(P ↔︎ Q) önermesinin çözümleyici çizelgesi kapalı çizelge ise P ve Q önermeleri eşdeğer önermelerdir, kapalı çizelge değilse (tamamlanmış açık çizelge ise) P ve Q önermeleri eşdeğer önerme değildir.
Örnek6.6
¬(( ¬Q → ¬P) ↔︎ (P → Q)) önermesinin çizelgesi kapalı olduğundan ¬Q → ¬P ve P → Q önermeleri eşdeğerdir.
Örnek6.7
¬(( ¬P → ¬Q) ↔︎ (P → Q)) önermesinin çizelgesi açık olduğundan ¬P → ¬Q ve P → Q önermeleri eşdeğer değildir.
Çıkarımların Geçerliliğinin Denetlenmesi
Çözümleyici çizelge ile çıkarımların geçerliliğini denetlemek için Çıkarımın Geçersiz Kılıcı Kümesi kullanılır.
Çıkarımın Geçersiz Kılıcı Kümesi
Çıkarımın öncüllerinin ve sonucun değillemesinin elemanları olduğu küme Çıkarımın Geçersiz Kılıcı Kümesi olarak adlandırılır. Bu küme tutarsız ise çıkarım geçerli, tutarlı ise çıkarım geçersizdir
Çıkarım: P1, P2, ......, P_n ∴ S
Çıkarımın Geçersiz Kılıcı Kümesi: {P1, P2, ...... ,P_n, ¬S}
Geçerli Çıkarım: Bütün öncüllerin doğru ve sonuç önermesinin yanlış olduğu hiçbir olanaklı durum bulunmayan çıkarımlardır. Çıkarımın geçersiz kılıcı kümesi tutarsız ise çıkarım geçerlidir. Bu durumda, çıkarımın geçersiz kılıcı kümesinin çözümleyici çizelgesi kapalı çizelge ise çıkarım geçerlidir.
Örnek6.8
Q ∧ P, ¬( ¬P ∨ Q) önermelerinin çözümleyici çizelgesi kapalı olduğundan (P ∨ ¬Q) ↔︎ Q, Q ∧ P ∴ ¬P ∨ Q çıkarımı geçerlidir.
Geçersiz çıkarım: Bütün öncüllerin doğru ve sonuç önermesinin yanlış olduğu en az bir olanaklı durum bulunan çıkarımlardır. Çıkarımın geçersiz kılıcı kümesi tutarlı ise çıkarım geçersizdir. Bu durumda, çıkarımın geçersiz kılıcı kümesinin çözümleyici çizelgesi kapalı çizelge değilse (tamamlanmış açık çizelge ise) çıkarım geçersizdir.
Örnek6.9
¬P ∨ R, R → (P ↔︎ Q), ¬ ¬R önermelerinin çözümleyici çizelgesi açık olduğundan ¬P ∨ R, R → (P ↔︎ Q) ∴ ¬R çıkarımı geçersizdir.
