Bölüm VII Türetim I

Bu bölümde Donald Kalish ve Richard Montague’nün 1964 tarihli “Techniques of Formal Reasoning” adlı yapıtları esas alınarak çeşitli çıkarım ve teoremlerin geçerliliğinin denetimi yapılacak. Bilindiği üzere çıkarımların geçerliliklerini denetlemenin çeşitli yolları var. Bu bölümde ayrıntılandıracağımız türetim (derivation) yöntemi özellikle içerisinde birden fazla önermenin bulunduğu bileşik önermelerden oluşan çıkarımların ve teoremlerin geçerliliklerinin denetlenmesinde büyük kolaylık sağlıyor. Bunun için ilk olarak çıkarım kurallarına değinmek gerekir.

1. Dolaysız Türetim

Çıkarım kuralları

Modus Ponens (MP):

P → Q, P ∴ Q

Burada birinci öncül, ikinci öncül ve sonuç önermesi olarak karşımızda durmakta. Sözel bir dille ifade edecek olursak; bir tasımda ve önermeleri varsa sonuç zorunlu olarak olur.

Modus Tollens (MT):

P → Q, ¬Q ∴ ¬P

Burada birinci öncül, ikinci öncül ve sonuç önermesi olarak karşımızda durmakta. Sözel bir dille ifade edecek olursak; bir tasımda ve önermeleri varsa sonuç zorunlu olarak olur.

Çifte Değilleme (ÇD):

¬¬P ∴ P

Sözel bir dille ifade edecek olursak; bir P önermesinin değilinin değili kendisidir.

Tekrar (T):

P ∴ P

Diğer bir deyişle size verili herhangi bir P önermesini türetim esnasında tekrar tekrar kullanabilirsiniz. Şimdi aşağıdaki örnekleri inceleyelim:

Örnek 1:

P → ¬Q, P ∴  Q

Açıkça görüleceği üzere örnek 1 Modus Ponensin bir çeşitlemesi.

Örnek 2:

¬P → Q,  P ∴  Q

Açıkça görüleceği üzere örnek 2’de Modus Ponensin bir çeşitlemesi.

Örnek 3:

P→ Q ∴  P

Örnek 3 de Modus Tollens’in bir çeşitlemesi.

Örnek 4: Öncülleri ¬P → Q ve ¬Q ve sonucu P olan bir çıkarımın geçerliliğini türetim yoluyla denetleyin.

Burada kullanacağımız yönteme Kalish-Montague yöntemi diyeceğiz. Şimdi Kalish-Montague yöntemine göre türetimi yapalım.

    1. Göster P
    2. ¬P → Q 	(öncül 1)
    3. ~Q 	(öncül 1)
    4. ¬¬P 	(2,3 MT)
    5. P 	(4 ÇD)

Başka bir dille ifade edecek olursak, sonuç önermesine göster dedikten sonra takip eden satırlarda öncülleri sırasıyla yazıyoruz. Ardından yukarıda değindiğimiz çıkarım kurallarını kullanarak başta göster dediğimiz önermeye ulaşmaya çalışıyoruz.

Eğer bu örnekte olduğu gibi öncüllerden ve çıkarım kurallarından hareketle sonuca ulaşabiliyorsak bu yaptığımız doğrudan türetimdir.

2. Dolaylı Türetim

Örnek 5: Öncülü P ve sonucu (P→Q) → Q olan bir çıkarımın geçerliliğini denetleyin.

    1. Göster (P →  Q) →  Q
    2. (P → Q)	(Koşullu Varsayım)
    3. P 	(Öncül)
    4. Q 	(2,3 MP)

Bu örnekte de görüldüğü üzere sonuç önermesi koşullu bir bileşik önerme. Bu durumda doğrudan değil koşullu bir türetim yapmak durumundayız. Koşullu önermede ise ekleminin sol tarafını bir varsayım olarak kullanabiliriz.

Örnek 6: Öncülleri ¬P → Q ve ¬P → ¬Q ve sonucu P olan bir çıkarımın geçerliliğini denetleyin.

    1. Göster P
    2. ¬P 	(Dolaylı Varsayım)
    3. ¬P → Q 	(Öncül 1)
    4. ¬P → ¬Q	(Öncül 2)
    5. Q* 	(2,3 MP)
    6. ¬Q* 	(2,4 MP)

Bu örnekte de görüldüğü üzere sonuç önermesi tek bir basit önerme olduğu durumda genellikle dolaylı yoldan bir türetim yaparız. Sonuç önermesinin değilini varsayarak işe başlarız ve çelişik iki satır bulmaya çalışırız.

Örnek 7: Öncülü P → Q ve sonucu P → ((Q → R) → R) olan bir çıkarımın geçerliliğini denetleyin.

    1. Göster P → ((Q → R) → R)
    2. P 	(KV)
    3. Göster  (Q → R) → R
    4. (Q → R)	(KV)
    5. P → Q	(Öncül)
    6. Q 	(2,4 MP)
    7. R 	(4,6 MP)

Örnek 8: Öncülü P ve sonucu ( ¬Q → ¬P) → Q olan bir çıkarımın geçerliliğini denetleyin.

    1. Göster (¬Q → ¬P) → Q
    2. (¬Q → ¬P) (KV)
    3. P 	öncül
    4. ¬¬Q 	(2,3 MT)
    5. Q 	(4ÇD)

Alıştırmalar için Tıklayınız